Aire et intégrale

Définition

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que   \(a.
Soit \(f\) une fonction continue et positive sur un intervalle \([a~;~b]\) .
Dans un repère orthogonal du plan, l'aire du domaine délimité par \(\mathscr C\) , l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=a\) et \(x=b\) est appelée aire sous la courbe représentative de \(f\) entre \(a\) et \(b\) .

Définition

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que   \(a.
Soit \(f\) une fonction continue et positive sur un intervalle \([a~;~b]\) . 
Soit \(\mathscr C\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)\) .
L'aire sous la courbe   \(\mathscr C\) de \(f\) entre \(a\) et \(b\) , exprimée en unités d'aire, est appelé intégrale de \(f\) sur \([a~;~b]\) et se note  \(\boxed{\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x}\) . Elle se lit « intégrale de \(a\) à \(b\) de \(f(x)\text dx\) ».

Exemples

1. Dans un repère orthogonal du plan, l'aire sous la courbe de la fonction carré entre \(1\) et \(4\) est, en unité d'aire, \(\displaystyle \int_1^4 x^2\text d x\) .
2. Dans un repère orthogonal du plan, l'intégrale  \(\displaystyle \int_{0}^\sqrt 5 x^3\text d x\)  représente l'aire sous la courbe de la fonction cube entre \(0\) et \(\sqrt 5\) , en unité d'aire.